1993 年全国硕士研究生招生考试数学（二）真题与解析

一、填空题

1. 极限计算

题目： 求 $\lim_{x \to 0^{+}} x \ln x$。

答案： $0$。

解析： $\lim_{x \to 0^{+}}x\ln x=\lim_{x \to 0^{+}}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0^{+}}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}}=\lim_{x \to 0^{+}}\left(-x\right)=0$。

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2. 隐函数求导

题目： 函数 $y=y\left(x\right)$ 由方程 $\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)+e^{x}-xy^{2}=0$ 所确定，则 $y^{\prime}=$ ______。

答案： $\frac{2x\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)+e^{x}-y^{2}}{2xy-2y\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)}$。

解析： 对方程两边关于 $x$ 求导，得 $\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)\left(2x+2yy^{\prime}\right)+e^{x}-y^{2}-2xyy^{\prime}=0$，解得 $y^{\prime}=\frac{2x\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)+e^{x}-y^{2}}{2xy-2y\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)}$。

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3. 单调区间

题目： 设 $F\left(x\right)=\int_{1}^{x}\left(2-\frac{1}{\sqrt{t}}\right)\mathrm{~d}t\left(x>0\right)$，则函数 $F\left(x\right)$ 的单调减少区间是 ______。

答案： $\left(0,\frac{1}{4}\right]$。

解析： $F^{\prime}\left(x\right)=2-\frac{1}{\sqrt{x}}$。由 $F^{\prime}\left(x\right)=0$ 得 $x=\frac{1}{4}$，且当 $0<x<\frac{1}{4}$ 时 $F^{\prime}\left(x\right)<0$，故单调减少区间为 $\left(0,\frac{1}{4}\right]$。

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4. 不定积分

题目： 求 $\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}}\mathrm{~d}x$。

答案： $\frac{2}{\sqrt{\cos x}}+C$。

解析： $\int \frac{\tan x}{\sqrt{\cos x}}\mathrm{~d}x=-\int \cos^{-{\frac{3}{2}}}x\mathrm{~d}\left(\cos x\right)=\frac{2}{\sqrt{\cos x}}+C$。

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5. 曲线方程

题目： 已知曲线 $y=f\left(x\right)$ 过点 $\left(0,-\frac{1}{2}\right)$，且其上任一点 $\left(x,y\right)$ 处的切线斜率为 $x\ln \left(1+x^{2}\right)$，则 $f\left(x\right)=$ ______。

答案： $\frac{1}{2}\left(1+x^{2}\right)\left[\ln \left(1+x^{2}\right)-1\right]$。

解析： 由题意，$y^{\prime}=x\ln \left(1+x^{2}\right)$。积分得 $y=\frac{1}{2}x^{2}\ln \left(1+x^{2}\right)-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}\ln \left(1+x^{2}\right)+C$。代入点 $\left(0,-\frac{1}{2}\right)$，得 $C=-\frac{1}{2}$，故 $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(1+x^{2}\right)\left[\ln \left(1+x^{2}\right)-1\right]$。

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二、选择题

1. 无穷小与无穷大

题目： 当 $x \to 0$ 时，变量 $\frac{1}{x^{2}}\sin \left(\frac{1}{x}\right)$ 是（ ）

A. 无穷小。
B. 无穷大。
C. 有界的，但不是无穷小。
D. 无界的，但不是无穷大。

答案： D。

解析： 取 $x_{n}=\frac{1}{2n\pi}$，则 $\frac{1}{x_{n}^{2}}\sin \left(\frac{1}{x_{n}}\right)=0$；取 $y_{n}=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}$，则 $\frac{1}{y_{n}^{2}}\sin \left(\frac{1}{y_{n}}\right)=\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)^{2}\to +\infty$。故该变量无界但不是无穷大，选 D。

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2. 分段函数的连续性

题目： 设 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\left|x^{2}-1\right|}{x-1}, & x\ne 1,\\2, & x=1,\end{array}\right.$ 则在点 $x=1$ 处函数 $f\left(x\right)$（ ）

A. 不连续。
B. 连续，但不可导。
C. 可导，但导数不连续。
D. 可导，且导数连续。

答案： A。

解析： $\lim_{x \to 1^{-}}f\left(x\right)=-2$，$\lim_{x \to 1^{+}}f\left(x\right)=2$，左右极限不相等，故 $f\left(x\right)$ 在 $x=1$ 处不连续，选 A。

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3. 变上限积分

题目： 已知 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}, & 0\le x<1,\\1, & 1\le x\le 2,\end{array}\right.$ 设 $F\left(x\right)=\int_{1}^{x}f\left(t\right)\mathrm{~d}t\left(0\le x\le 2\right)$，则 $F\left(x\right)$ 为（ ）

A. $F\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3}x^{3}, & 0\le x<1,\\x, & 1\le x\le 2.\end{array}\right.$

B. $F\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{3}, & 0\le x<1,\\x, & 1\le x\le 2.\end{array}\right.$

C. $F\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3}x^{3}, & 0\le x<1,\\x-1, & 1\le x\le 2.\end{array}\right.$

D. $F\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{3}, & 0\le x<1,\\x-1, & 1\le x\le 2.\end{array}\right.$

答案： D。

解析： 当 $0\le x<1$ 时，$F\left(x\right)=\int_{1}^{x}t^{2}\mathrm{~d}t=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{3}$；当 $1\le x\le 2$ 时，$F\left(x\right)=\int_{1}^{x}1\mathrm{~d}t=x-1$。故选 D。

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4. 零点个数

题目： 设常数 $k>0$，函数 $f\left(x\right)=\ln x-\frac{x}{e}+k$ 在 $\left(0,+\infty\right)$ 内的零点个数为（ ）

A. 3。
B. 2。
C. 1。
D. 0。

答案： B。

解析： $f^{\prime}\left(x\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{e}$，唯一驻点为 $x=e$。又 $f^{\prime\prime}\left(e\right)<0$，所以 $f\left(e\right)=k>0$ 为最大值；且 $\lim_{x \to 0^{+}}f\left(x\right)=-\infty$，$\lim_{x \to +\infty}f\left(x\right)=-\infty$，故零点个数为 $2$，选 B。

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5. 奇函数及导数性质

题目： 若 $f\left(x\right)=-f\left(-x\right)$，在 $\left(0,+\infty\right)$ 内 $f^{\prime}\left(x\right)>0$，$f^{\prime\prime}\left(x\right)>0$，则 $f\left(x\right)$ 在 $\left(-\infty,0\right)$ 内（ ）

A. $f^{\prime}\left(x\right)<0$，$f^{\prime\prime}\left(x\right)<0$。
B. $f^{\prime}\left(x\right)<0$，$f^{\prime\prime}\left(x\right)>0$。
C. $f^{\prime}\left(x\right)>0$，$f^{\prime\prime}\left(x\right)<0$。
D. $f^{\prime}\left(x\right)>0$，$f^{\prime\prime}\left(x\right)>0$。

答案： C。

解析： $f\left(x\right)$ 为奇函数，所以 $f^{\prime}\left(x\right)$ 为偶函数，$f^{\prime\prime}\left(x\right)$ 为奇函数。故在 $\left(-\infty,0\right)$ 内，$f^{\prime}\left(x\right)>0$，$f^{\prime\prime}\left(x\right)<0$，选 C。

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三、计算题

1. 复合函数求二阶导数

题目： 设 $y=\sin \left[f\left(x^{2}\right)\right]$，其中 $f$ 具有二阶导数，求 $y^{\prime\prime}$。

解析： 先得 $y^{\prime}=2x\cos \left[f\left(x^{2}\right)\right]f^{\prime}\left(x^{2}\right)$，再求导得 $y^{\prime\prime}=2\cos \left[f\left(x^{2}\right)\right]f^{\prime}\left(x^{2}\right)-4x^{2}\sin \left[f\left(x^{2}\right)\right]\left[f^{\prime}\left(x^{2}\right)\right]^{2}+4x^{2}\cos \left[f\left(x^{2}\right)\right]f^{\prime\prime}\left(x^{2}\right)$。

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2. 极限计算

题目： 求 $\lim_{x \to -\infty}x\left(\sqrt{x^{2}+100}+x\right)$。

解析： $\lim_{x \to -\infty}x\left(\sqrt{x^{2}+100}+x\right)=\lim_{x \to -\infty}\frac{100x}{\sqrt{x^{2}+100}-x}=\lim_{x \to -\infty}\frac{-100}{\sqrt{1+\frac{100}{x^{2}}}+1}=-50$。

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3. 定积分

题目： 求 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{x}{1+\cos 2x}\mathrm{~d}x$。

解析： 因为 $1+\cos 2x=2\cos^{2}x$，所以 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{x}{1+\cos 2x}\mathrm{~d}x=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}x\sec^{2}x\mathrm{~d}x=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{4}\ln 2$。

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4. 反常积分

题目： 求 $\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\left(1+x\right)^{3}}\mathrm{~d}x$。

解析： $\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{\left(1+x\right)^{3}}\mathrm{~d}x=\int_{0}^{+\infty}\left[\frac{1}{\left(x+1\right)^{2}}-\frac{1}{\left(x+1\right)^{3}}\right]\mathrm{~d}x=\frac{1}{2}$。

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5. 微分方程特解

题目： 求微分方程 $\left(x^{2}-1\right)\mathrm{~d}y+\left(2xy-\cos x\right)\mathrm{~d}x=0$ 满足初值条件 $y\left(0\right)=1$ 的特解。

解析： 原方程可化为 $\mathrm{d}\left(x^{2}y-\sin x-y\right)=0$，故通解为 $x^{2}y-\sin x-y=C$。由 $y\left(0\right)=1$ 得 $C=-1$，所以特解为 $y=\frac{\sin x-1}{x^{2}-1}$。

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四、微分方程

题目： 设二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime\prime}+\alpha y^{\prime}+\beta y=\gamma e^{x}$ 的一个特解为 $y=e^{2x}+\left(1+x\right)e^{x}$，试确定常数 $\alpha,\beta,\gamma$，并求该方程的通解。

解析： 由特解中 $e^{2x}$ 与 $e^{x}$ 可知特征根为 $\lambda_{1}=2$，$\lambda_{2}=1$，故 $\alpha=-3$，$\beta=2$。将 $y_{0}\left(x\right)=xe^{x}$ 代入 $y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+2y=\gamma e^{x}$，得 $\gamma=-1$。因此通解为 $y=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{x}+xe^{x}$。

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五、旋转体体积

题目： 设平面图形 $A$ 由 $x^{2}+y^{2}\le 2x$ 与 $y\ge x$ 所确定，求图形 $A$ 绕直线 $x=2$ 旋转一周所得旋转体的体积。

解析： 由题意，$\mathrm{d}V=2\pi\left(2-x\right)\left(\sqrt{2x-x^{2}}-x\right)\mathrm{~d}x$，其中 $0\le x\le 1$。故 $V=2\pi\int_{0}^{1}\left(2-x\right)\left(\sqrt{2x-x^{2}}-x\right)\mathrm{~d}x=\frac{\pi^{2}}{2}-\frac{2\pi}{3}$。

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六、最值问题

题目： 作半径为 $r$ 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高 $h$ 为何值时，其体积 $V$ 最小，并求出该最小值。

解析： 设圆锥底面半径为 $R$，由相似关系得 $R=\frac{rh}{\sqrt{h^{2}-2hr}}$。于是 $V\left(h\right)=\frac{\pi}{3}R^{2}h=\frac{\pi r^{2}}{3}\cdot\frac{h^{2}}{h-2r}\left(2r<h<+\infty\right)$。令 $V^{\prime}\left(h\right)=0$，得 $h=4r$。因此当 $h=4r$ 时体积最小，最小值为 $\frac{8\pi r^{3}}{3}$。

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七、不等式证明

题目： 设 $x>0$，常数 $a>e$，证明：$\left(a+x\right)^{a}<a^{a+x}$。

解析： 该不等式等价于 $\left(a+x\right)\ln a-a\ln \left(a+x\right)>0$。令 $f\left(x\right)=\left(a+x\right)\ln a-a\ln \left(a+x\right)$，则 $f\left(0\right)=0$，且 $f^{\prime}\left(x\right)=\ln a-\frac{a}{a+x}>0$。故 $f\left(x\right)>f\left(0\right)=0$，即 $\left(a+x\right)^{a}<a^{a+x}$。

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八、积分不等式证明

题目： 设 $f^{\prime}\left(x\right)$ 在 $\left[0,a\right]$ 上连续，且 $f\left(0\right)=0$，证明：$\left|\int_{0}^{a}f\left(x\right)\mathrm{~d}x\right|\le \frac{Ma^{2}}{2}$，其中 $M=\max_{0\le x\le a}\left|f^{\prime}\left(x\right)\right|$。

解析： 由拉格朗日中值定理，$f\left(x\right)=f^{\prime}\left(\xi\right)x$，其中 $0<\xi<x$。因此 $\left|\int_{0}^{a}f\left(x\right)\mathrm{~d}x\right|\le \int_{0}^{a}\left|f\left(x\right)\right|\mathrm{~d}x\le M\int_{0}^{a}x\mathrm{~d}x=\frac{Ma^{2}}{2}$。