1997 年全国硕士研究生招生考试数学（二）真题与解析

一、填空题

1. 连续性

题目： 已知函数 $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\left(\cos x\right)^{\frac{1}{x^{2}}}, & x\ne 0,\\a, & x=0,\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则 $a=$ ______。

答案： $e^{-\frac{1}{2}}$。

解析： $\lim_{x \to 0}\left(\cos x\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=e^{\lim_{x \to 0}\frac{\ln \left(\cos x\right)}{x^{2}}}=e^{-\frac{1}{2}}$。由连续性得 $a=e^{-\frac{1}{2}}$。

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2. 二阶导数

题目： 设 $y=\ln \sqrt{\frac{1-x}{1+x^{2}}}$，则 $\left.y^{\prime\prime}\right|_{x=0}=$ ______。

答案： $-\frac{3}{2}$。

解析： $y=\frac{1}{2}\left[\ln \left(1-x\right)-\ln \left(1+x^{2}\right)\right]$，所以 $y^{\prime}=\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{1-x}-\frac{2x}{1+x^{2}}\right]$，故 $\left.y^{\prime\prime}\right|_{x=0}=-\frac{3}{2}$。

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3. 不定积分

题目： 求 $\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x\left(4-x\right)}}$。

答案： $2\arcsin \frac{\sqrt{x}}{2}+C$，或 $\arcsin \frac{x-2}{2}+C$。

解析： $\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x\left(4-x\right)}}=2\int \frac{\mathrm{d}\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{2^{2}-\left(\sqrt{x}\right)^{2}}}=2\arcsin \frac{\sqrt{x}}{2}+C$。

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4. 反常积分

题目： 求 $\int_{0}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^{2}+4x+8}$。

答案： $\frac{\pi}{8}$。

解析： $\int_{0}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^{2}+4x+8}=\int_{0}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}\left(x+2\right)}{\left(x+2\right)^{2}+2^{2}}=\left.\frac{1}{2}\arctan \frac{x+2}{2}\right|_{0}^{+\infty}=\frac{\pi}{8}$。

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5. 向量组的秩

题目： 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(1,2,-1,1\right)$，$\boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(2,0,t,0\right)$，$\boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(0,-4,5,-2\right)$ 的秩为 $2$，则 $t=$ ______。

答案： $3$。

解析： 将 $\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 构成矩阵并作初等行变换，秩为 $2$ 可得 $\frac{1}{t+2}=\frac{1}{5}$，故 $t=3$。

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二、选择题

1. 同阶无穷小

题目： 设 $x\to 0$ 时，$e^{\tan x}-e^{x}$ 与 $x^{n}$ 是同阶无穷小，则 $n$ 为（ ）

A. $1$。
B. $2$。
C. $3$。
D. $4$。

答案： C。

解析： $\lim_{x \to 0}\frac{e^{\tan x}-e^{x}}{x^{3}}=\lim_{x \to 0}e^{x}\frac{e^{\tan x-x}-1}{x^{3}}=\lim_{x \to 0}\frac{\tan x-x}{x^{3}}=\frac{1}{3}$，故 $n=3$。

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2. 积分估计

题目： 设在闭区间 $\left[a,b\right]$ 上 $f\left(x\right)>0$，$f^{\prime}\left(x\right)<0$，$f^{\prime\prime}\left(x\right)>0$。记 $S_{1}=\int_{a}^{b}f\left(x\right)\mathrm{~d}x$，$S_{2}=f\left(b\right)\left(b-a\right)$，$S_{3}=\frac{1}{2}\left[f\left(a\right)+f\left(b\right)\right]\left(b-a\right)$，则（ ）

A. $S_{1}<S_{2}<S_{3}$。
B. $S_{2}<S_{1}<S_{3}$。
C. $S_{3}<S_{1}<S_{2}$。
D. $S_{2}<S_{3}<S_{1}$。

答案： B。

解析： 因 $f\left(x\right)$ 单调递减，有 $S_{2}<S_{1}$；又因 $f^{\prime\prime}\left(x\right)>0$，梯形面积大于曲边梯形面积，故 $S_{1}<S_{3}$。因此 $S_{2}<S_{1}<S_{3}$。

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3. 极值判定

题目： 已知函数 $y=f\left(x\right)$ 对一切 $x$ 满足 $xf^{\prime\prime}\left(x\right)+3x\left[f^{\prime}\left(x\right)\right]^{2}=1-e^{-x}$，若 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0\left(x_{0}\ne 0\right)$，则（ ）

A. $f\left(x_{0}\right)$ 是 $f\left(x\right)$ 的极大值。
B. $f\left(x_{0}\right)$ 是 $f\left(x\right)$ 的极小值。
C. $\left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right)$ 是曲线 $y=f\left(x\right)$ 的拐点。
D. $f\left(x_{0}\right)$ 不是 $f\left(x\right)$ 的极值，$\left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right)$ 也不是曲线 $y=f\left(x\right)$ 的拐点。

答案： B。

解析： 由题设得 $f^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)=\frac{1-e^{-x_{0}}}{x_{0}}$。无论 $x_{0}>0$ 或 $x_{0}<0$，均有 $f^{\prime\prime}\left(x_{0}\right)>0$，故 $f\left(x_{0}\right)$ 为极小值。

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4. 变限积分

题目： 设 $F\left(x\right)=\int_{x}^{x+2\pi}e^{\sin t}\sin t\mathrm{~d}t$，则 $F\left(x\right)$（ ）

A. 为正常数。
B. 为负常数。
C. 恒为零。
D. 不为常数。

答案： A。

解析： 因 $e^{\sin t}\sin t$ 以 $2\pi$ 为周期，所以 $F\left(x\right)$ 为常数。又 $F\left(x\right)=\int_{0}^{\pi}\left(e^{\sin t}-e^{-\sin t}\right)\sin t\mathrm{~d}t>0$，故为正常数。

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5. 复合函数

题目： 设函数 $g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}2-x, & x\le 0,\\x+2, & x>0,\end{array}\right.$，$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}, & x<0,\\-x, & x\ge 0,\end{array}\right.$，则 $g\left[f\left(x\right)\right]=$（ ）

A. $\left\{\begin{array}{ll}2+x^{2}, & x<0,\\2-x, & x\ge 0.\end{array}\right.$
B. $\left\{\begin{array}{ll}2-x^{2}, & x<0,\\2+x, & x\ge 0.\end{array}\right.$
C. $\left\{\begin{array}{ll}2-x^{2}, & x<0,\\2-x, & x\ge 0.\end{array}\right.$
D. $\left\{\begin{array}{ll}2+x^{2}, & x<0,\\2+x, & x\ge 0.\end{array}\right.$

答案： D。

解析： 当 $x<0$ 时，$f\left(x\right)=x^{2}>0$，故 $g\left[f\left(x\right)\right]=2+x^{2}$；当 $x\ge 0$ 时，$f\left(x\right)=-x\le 0$，故 $g\left[f\left(x\right)\right]=2+x$。

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三、计算题

1. 极限

题目： 求极限 $\lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{4x^{2}+x-1}+x+1}{\sqrt{x^{2}+\sin x}}$。

解析： 分子分母同除以 $\left|x\right|=-x$，得 $\lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}}-1-\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{\sin x}{x^{2}}}}=1$。

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2. 参数方程求导

题目： 设函数 $y=y\left(x\right)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=\arctan t,\\2y-ty^{2}+e^{t}=5\end{array}\right.$ 所确定，求 $y^{\prime}$。

解析： 对 $2y-ty^{2}+e^{t}=5$ 关于 $t$ 求导，得 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{e^{t}-y^{2}}{2\left(ty-1\right)}$。又 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{1+t^{2}}$，所以 $y^{\prime}=\frac{\left(e^{t}-y^{2}\right)\left(1+t^{2}\right)}{2\left(ty-1\right)}$。

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3. 不定积分

题目： 计算 $\int e^{2x}\left(\tan x+1\right)^{2}\mathrm{~d}x$。

解析： 因为 $\left(\tan x+1\right)^{2}=\sec^{2}x+2\tan x$，所以 $\int e^{2x}\left(\tan x+1\right)^{2}\mathrm{~d}x=\int e^{2x}\left(\sec^{2}x+2\tan x\right)\mathrm{~d}x=e^{2x}\tan x+C$。

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4. 全微分方程

题目： 求微分方程 $\left(3x^{2}+2xy-y^{2}\right)\mathrm{d}x+\left(x^{2}-2xy\right)\mathrm{d}y=0$ 的通解。

解析： 令 $P=3x^{2}+2xy-y^{2}$，$Q=x^{2}-2xy$，则 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=2x-2y$，故为全微分方程。积分得通解 $x^{3}+x^{2}y-xy^{2}=C$，其中 $C$ 为任意常数。

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5. 二阶线性微分方程

题目： 已知 $y_{1}=xe^{x}+e^{2x}$，$y_{2}=xe^{x}+e^{-x}$，$y_{3}=xe^{x}+e^{2x}-e^{-x}$ 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。

解析： 由 $y_{1}-y_{3}=e^{-x}$，$y_{1}-y_{2}=e^{2x}-e^{-x}$，知对应齐次方程特征根为 $-1,2$，故齐次方程为 $y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=0$。以 $xe^{x}$ 为特解，代入得非齐次项为 $\left(1-2x\right)e^{x}$，故所求方程为 $y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=\left(1-2x\right)e^{x}$。

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6. 矩阵计算

题目： 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}$，且 $\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$，其中 $\boldsymbol{E}$ 是 $3$ 阶单位矩阵，求矩阵 $\boldsymbol{B}$。

解析： 由 $\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}$，得 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}-\boldsymbol{A}^{-1}$。又 $\boldsymbol{A}^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 & -2\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & -1\end{pmatrix}$，所以 $\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}0 & 2 & 1\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$。

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四、线性方程组

题目： $\lambda$ 取何值时，方程组 $\left\{\begin{array}{l}2x_{1}+\lambda x_{2}-x_{3}=1,\\\lambda x_{1}-x_{2}+x_{3}=2,\\4x_{1}+5x_{2}-5x_{3}=-1\end{array}\right.$ 无解，有唯一解或者有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解。

解析： 系数行列式 $\left|\boldsymbol{A}\right|=\begin{vmatrix}2 & \lambda & -1\\\lambda & -1 & 1\\4 & 5 & -5\end{vmatrix}=\left(\lambda-1\right)\left(5\lambda+4\right)$。当 $\lambda\ne 1$ 且 $\lambda\ne -\frac{4}{5}$ 时，方程组有唯一解；当 $\lambda=-\frac{4}{5}$ 时，方程组无解；当 $\lambda=1$ 时，方程组有无穷多解，通解为 $\boldsymbol{X}=k\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1\\0\\0\end{pmatrix}$，其中 $k$ 为任意常数。

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五、极坐标曲线

题目： 设曲线 $L$ 的极坐标方程为 $r=r\left(\theta\right)$，$M\left(r,\theta\right)$ 为 $L$ 上任一点，$M_{0}\left(2,0\right)$ 为 $L$ 上一定点。若极径 $OM_{0},OM$ 与曲线 $L$ 所围成的曲边扇形面积恒等于 $L$ 上 $M_{0},M$ 两点间弧长值的一半，求曲线 $L$ 的方程。

解析： 由题设，$\frac{1}{2}\int_{0}^{\theta}r^{2}\left(\theta\right)\mathrm{~d}\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{\theta}\sqrt{r^{2}\left(\theta\right)+r^{\prime 2}\left(\theta\right)}\mathrm{~d}\theta$。两边对 $\theta$ 求导，得 $r^{2}=\sqrt{r^{2}+r^{\prime 2}}$，即 $\frac{\mathrm{d}r}{r\sqrt{r^{2}-1}}=\pm \mathrm{d}\theta$。由 $r\left(0\right)=2$，得 $r=\frac{1}{\sin \left(\frac{\pi}{6}\pm \theta\right)}$，即直角坐标方程为 $x\pm \sqrt{3}y=2$。

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六、面积与旋转体体积

题目： 设函数 $f\left(x\right)$ 在闭区间 $\left[0,1\right]$ 上连续，在开区间 $\left(0,1\right)$ 内大于零，并满足 $xf^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right)+\frac{3a}{2}x^{2}$，其中 $a$ 为常数。又曲线 $y=f\left(x\right)$ 与 $x=1,y=0$ 所围图形 $S$ 的面积值为 $2$，求函数 $y=f\left(x\right)$，并问 $a$ 为何值时，图形 $S$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体体积最小。

解析： 由 $xf^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right)+\frac{3a}{2}x^{2}$，得 $f\left(x\right)=Cx+\frac{3a}{2}x^{2}$。又 $\int_{0}^{1}f\left(x\right)\mathrm{~d}x=2$，得 $C=4-a$，故 $f\left(x\right)=\left(4-a\right)x+\frac{3a}{2}x^{2}$。旋转体体积 $V\left(a\right)=\pi\int_{0}^{1}\left[\left(4-a\right)x+\frac{3a}{2}x^{2}\right]^{2}\mathrm{~d}x$，由 $V^{\prime}\left(a\right)=0$ 得 $a=-5$，此时体积最小，且 $f\left(x\right)=9x-\frac{15}{2}x^{2}$。

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七、函数连续性与导数

题目： 设函数 $f\left(x\right)$ 连续，$\varphi\left(x\right)=\int_{0}^{1}f\left(xt\right)\mathrm{~d}t$，且 $\lim_{x \to 0}\frac{f\left(x\right)}{x}=A$，其中 $A$ 为常数，求 $\varphi^{\prime}\left(x\right)$ 并讨论 $\varphi^{\prime}\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处的连续性。

解析： 由 $\lim_{x \to 0}\frac{f\left(x\right)}{x}=A$，得 $f\left(0\right)=0$。当 $x=0$ 时，$\varphi\left(0\right)=0$；当 $x\ne 0$ 时，$\varphi\left(x\right)=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}f\left(t\right)\mathrm{~d}t$。故 $\varphi^{\prime}\left(0\right)=\frac{A}{2}$；当 $x\ne 0$ 时，$\varphi^{\prime}\left(x\right)=\frac{xf\left(x\right)-\int_{0}^{x}f\left(t\right)\mathrm{~d}t}{x^{2}}$。又 $\lim_{x \to 0}\varphi^{\prime}\left(x\right)=\frac{A}{2}=\varphi^{\prime}\left(0\right)$，故 $\varphi^{\prime}\left(x\right)$ 在 $x=0$ 处连续。

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八、方程根的个数

题目： 就 $k$ 的不同取值情况，确定方程 $x-\frac{\pi}{2}\sin x=k$ 在开区间 $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 内根的个数，并证明你的结论。

解析： 设 $F\left(x\right)=x-\frac{\pi}{2}\sin x$，则 $F^{\prime}\left(x\right)=1-\frac{\pi}{2}\cos x$。令 $x_{0}=\arccos \frac{2}{\pi}$，则 $F\left(x\right)$ 在 $\left(0,x_{0}\right)$ 内单调减少，在 $\left(x_{0},\frac{\pi}{2}\right)$ 内单调增加。设 $y_{0}=F\left(x_{0}\right)=x_{0}-\frac{\pi}{2}\sin x_{0}$，则 $y_{0}<0$，且 $F\left(0\right)=F\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$。因此：当 $k<y_{0}$ 或 $k\ge 0$ 时，方程无根；当 $k=y_{0}$ 时，方程有唯一根；当 $y_{0}<k<0$ 时，方程有两个不同的根。